칼만 필터는 어렵지 않아
이 책은 칼만 필터 자체가 어려운 것이 아니라 설명하는 방식이 불친절해 배우기 어려웠다는 문제의식에서 출발합니다. 그래서 수학적인 유도와 증명을 앞세우는 대신 칼만 필터의 핵심 알고리
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예측 과정에서는 시각이 \(t_k\)에서 \(t_{k+1}\)로 바뀔 때, 추정값 \(\widehat{x}_k\)가 어떻게 변하는지를 추측한다.
1. 예측값 계산
추정값을 예측하는 식
$$ \widehat{x}_{k+1}^- = A\widehat{x}_k $$
오차 공분산을 예측하는 식
$$ P_{k+1}^- = AP_kA^T + Q $$
2. 예측과 추정의 차이
2.1 칼만 필터는 1차 저주파 통과 필터와 달리 추정값을 계산할 때 직전 추정값을 바로 쓰지 않고 예측 단계를 한 번 더 거침
1차 저주파 통과 필터의 추정값 계산식
$$ \bar{x}_k = \alpha\bar{x}_{k-1} + (1-\alpha)x_k $$
중간의 별도의 단계를 거치지 않고, 새로운 추정값 계산에 직전 추정값을 바로 사용한다.
칼만 필터의 추정값 계산식
$$ \widehat{x}_k = \widehat{x}_k^- + K_k(z_k-H\widehat{x}_k^-) $$
직전 추정값 대신 예측값이 자리를 차지하고 있다.
이 예측값은 직전 추정값을 이용해 구한 값이다.
예측값
$$\widehat{x}_k^- = A\widehat{x}_{k-1} $$
이 식을 위의 추정값 계산식에 대입
$$ \widehat{x}_k = A\widehat{x}_{k-1} + K_k(z_k-HA\widehat{x}_{k-1}) $$
3. 추정값 계산식의 재해석
3.1 칼만 필터는 측정값의 예측 오차로 예측값을 적절히 보정해서 최종 추정값을 계산
예측 단계의 계산식은 비교적 간단하지만, 칼만 필터의 성능에는 상당한 영향을 준다.
칼만 필터의 추정값 계산식에서
$$ \widehat{x}_k = \widehat{x}_k^- + K_k(z_k-H\widehat{x}_k^-) $$
\(H\widehat{x}_k^-\)는 예측값으로 계산한 측정값
\(z_k - H\widehat{x}_k^-\)는 실제 측정값과 예측한 측정값의 차이, 측정값의 예측 오차
3.2 칼만 필터의 성능은 시스템 모델에 달려있음
이 때 칼만 이득은 예측값을 얼마나 보정할지 결정하는 인자가 된다.
추정값 계산식을 예측값의 보정 관점에서 보면,
추정값의 성능에 가장 큰 영향을 주는 요인은 예측값의 정확성이다.
예측값이 부정확하면 아무리 칼만 이득을 잘 선정한다고 해도 추정값이 부정확할 수 밖에 없기 때문이다.
예측값에서 사용되는 변수는 추정값과 시스템 모델 A, Q이므로,
칼만 필터의 성능은 시스템 모델에 달려있다고 할 수 있다.
