칼만 필터는 어렵지 않아
이 책은 칼만 필터 자체가 어려운 것이 아니라 설명하는 방식이 불친절해 배우기 어려웠다는 문제의식에서 출발합니다. 그래서 수학적인 유도와 증명을 앞세우는 대신 칼만 필터의 핵심 알고리
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추정 과정은 칼만 필터 알고리즘의 2, 3, 4단계.
여기서는 추정값 계산식을 저주파 통과필터와 관련지어 설명한다.
1. 추정값 계산
1차 저주파 통과 필터와 칼만 필터의 식이 비슷하다.
~~ 식 전개 과정 생략. ~~
1.1 1차 저주파 통과 필터
- \(\bar{x}_k = (1-K)\bar{x}_{k-1} + Kx_k\)
- 직전 추정치, 측정값, 가중치 → 추정값
1.2 칼만 필터
- \(\widehat{x}_k = (I-K_k)\widehat{x}_k^- + K_kz_k\) (H가 단위행렬이라 가정)
- 예측값(\(\widehat{x}_k^-\)), 측정값(\(z_k\)), 가중치 → 추정값
2. 변하는 가중치
1차 저주파 통과 필터의 가중치(\(\alpha\))는 상수지만
칼만 필터는 알고리즘을 반복하면서 가중치(\(K_k\))을 새로 계산한다.
3. 오차 공분산(\(P_k\)) 계산
\(P_k = P_k^- - K_kHP_k^-\) (칼만 필터 알고리즘 4단계)
추정값이 정확한지 아닌지를 오차 공분산(\(P_k\))으로 판단할 수 있다.
\(P_k\)가 크면 추정 오차가 크고, \(P_k\)가 작으면 추정 오차도 작다.
3.1 오차 공분산의 의미
\(x_k \sim N(\widehat{x}_k, P_k)\)
\(x_k\)와 추정값(\(\widehat{x}_k\)), 오차 공분산(\(P_k\)) 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.
이 식은 번수 \(x_k\)가 평균이 \(\widehat{x}_k\)이고 공분산이 \(P_k\)인 정규분포를 따른다는 뜻이다.
정규분포는 \(x_k\)가 가질 수 있는 값의 확률을 그려보면 종 모양의 분포가 된다는 의미이다.
이 분포에서는 평균에서의 확률이 가장 높고 종 모양의 폭은 \(P_k\)가 결정한다.
종이 넓게 퍼진 모양이면 \(x_k\)가 가질 수 있는 값의 범위가 넓어서 추정 오차가 커지고
종의 모양의 폭이 좁으면 \(x_k\)가 가질 수 있는 값이 대부분 평균 근처에 모여 있어서 추정 오차가 작아진다.
+ 3.2 오차 공분산의 정의
\(P_k = E\{(x_k-\widehat{x}_k)(x_k-\widehat{x}_k)^T\}\)
\(E\{\ \}\)는 중괄호 안에 있는 변수의 평균을 구하는 연산자.
\(x_k\)는 참값.
\(x_k-\widehat{x}_k\)는 참값과 추정값의 차이. 추정 오차
즉 오차 공분산은 추정 오차의 제곱을 평균한 값을 의미한다.
따라서 오차 공분산의 크기와 추정 오차는 비례 관계이다.
